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發(fā)布時(shí)間: 2024年12月25日 21:57
不等式:
①用符號(hào)〉,=,〈號(hào)連接的式子叫不等式。
②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。
③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變。
④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向相反。
不等式的解集:
①能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
③求不等式解集的過程叫做解不等式。
一元一次不等式:
左右兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式組:
①關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成了一元一次不等式組。
②一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分,叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。
③求不等式組解集的過程,叫做解不等式組。
一元一次不等式的符號(hào)方向:
在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號(hào)是不變的,他是隨著你加或乘的運(yùn)算改變。
在不等式中,如果加上同一個(gè)數(shù)(或加上一個(gè)正數(shù)),不等式符號(hào)不改向;例如:AB,A+CB+C
在不等式中,如果減去同一個(gè)數(shù)(或加上一個(gè)負(fù)數(shù)),不等式符號(hào)不改向;例如:AB,A-CB-C
在不等式中,如果乘以同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)不改向;例如:AB,AxCBxC(C0)
在不等式中,如果乘以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)改向;例如:AB,AxC
如果不等式乘以0,那么不等號(hào)改為等號(hào)
所以在題目中,要求出乘以的數(shù),那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式,如果出現(xiàn)了,那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立。
1.不等式性質(zhì)比較大小方法:
(1)作差比較法
(2)作商比較法
不等式的基本性質(zhì)
①對(duì)稱性:a>bb>a
②傳遞性:a>b,b>ca>c
③可加性:a>ba+c>b+c
④可積性:a>b,c>0ac>bc
⑤加法法則:a>b,c>da+c>b+d
⑥乘法法則:a>b>0,c>d>0ac>bd
⑦乘方法則:a>b>0,an>bn(n∈N)
⑧開方法則:a>b>0
2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理:
(1)如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào))
(2)如果a、b∈R+,那么(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào))
如果為實(shí)數(shù),則重要結(jié)論
(1)如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2;
(2)如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時(shí),和xy有最大值S2/4。
3.證明不等式的常用方法:
比較法:比較法是最基本、最重要的方法。
當(dāng)不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式,則選擇作差比較法;當(dāng)不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小,
則選擇作商比較法;碰到絕對(duì)值或根式,我們還可以考慮作平方差。
綜合法:從已知或已證明過的不等式出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。
分析法:不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚,通過尋找不等式成立的充分條件,逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化,直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。
4.不等式的解法
(1)不等式的有關(guān)概念同解不等式:兩個(gè)不等式如果解集相同,那么這兩個(gè)不等式叫做同解不等式。同解變形:一個(gè)不等式變形為另一個(gè)不等式時(shí),如果這兩個(gè)不等式是同解不等式,那么這種變形叫做同解變形。提問:請(qǐng)說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)
(2)不等式ax>b的解法
①當(dāng)a>0時(shí)不等式的解集是{x|x>b/a};
②當(dāng)a<0時(shí)不等式的解集是{x|x
(3)一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系
(4)絕對(duì)值不等式|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x<-a或x>a},幾何表示為:oo-a0a
小結(jié):解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是-去絕對(duì)值符號(hào)(整體思想,分類討論)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式,
通常有下列三種解題思路:
(1)定義法:利用絕對(duì)值的意義,通過分類討論的方法去掉絕對(duì)值符號(hào);
(2)公式法:|f(x)|>af(x)>a或f(x)<-a;|f(x)|
(3)平方法:|f(x)|>a(a>0)f2(x)>a2;|f(x)|0)f2(x)
(4)幾何意義
(5)分式不等式的解法
(6)一元高次不等式的解法數(shù)軸標(biāo)根法把不等式化為f(x)>0(或<0)的形式(首項(xiàng)系數(shù)化為正),然后分解因式,再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標(biāo)出來,從右邊入手畫線,最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。
(7)含有絕對(duì)值的不等式定理:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|?|a|-|b|≤|a+b|中當(dāng)b=0或|a|>|b|且ab<0等號(hào)成立?|a+b|≤|a|+|b|中當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0等號(hào)成立推論1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|推廣:|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|推論2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
(1)最大值或最小值的`求法
第一步確定a的符號(hào):a>0有最小值,a<0有最大值;第二步求頂點(diǎn),頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值。
(2)y軸與拋物線y=ax^2+bx+c的交點(diǎn)為(0,c)。
(3)與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax^2+bx+c有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah^2+bh+c)。
(4)拋物線與x軸的交點(diǎn)。
二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:
①有兩個(gè)交點(diǎn)△>0拋物線與x軸相交。
②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)△=0拋物線與x軸相切;
③沒有交點(diǎn)△<0拋物線與x軸相離。
(5)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)。
同(4)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn),1個(gè)交點(diǎn),2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax^2+bx+c=k的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
(6)一次函數(shù)y=kx+n(k≠0)的圖像l與二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖像g的交點(diǎn),由方程組y=kx+n和y=ax^2+bx+c的解的數(shù)目確定:
①當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)l與g有兩個(gè)交點(diǎn);
②方程組只有一組解時(shí)l與g只有一個(gè)交點(diǎn);
③方程組無解時(shí)l與g沒有交點(diǎn).
(7)利用函數(shù)圖像求不等式的解集,先觀察圖像,找出拋物線與x軸的交點(diǎn),再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)寫出不等式的解集.
注意:觀察圖像時(shí)不要看漏了其中的部分。
1.解不等式問題的分類
(1)解一元一次不等式.
(2)解一元二次不等式.
(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式.
①解一元高次不等式;
②解分式不等式;
③解無理不等式;
④解指數(shù)不等式;
⑤解對(duì)數(shù)不等式;
⑥解帶絕對(duì)值的不等式;
⑦解不等式組.
2.解不等式時(shí)應(yīng)特別注意下列幾點(diǎn):
(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì).
(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增、減性.
(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍.
3.不等式的同解性
(1)|f(x)|<g(x)與-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)
(2)|f(x)|>g(x)
①與f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解;
②與g(x)<0同解.
(3)當(dāng)a>1時(shí),af(x)>ag(x)與f(x)>g(x)同解,當(dāng)0<a<1時(shí),af(x)>ag(x)與f(x)<g(x)同解.
不等式的定義:a-b>;0a>;b, a-b=0a=b, a-b<;0a
① 其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來定義兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基礎(chǔ),也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。
②可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明這個(gè)熟悉的知識(shí)背景,來認(rèn)識(shí)作差法比大小的理論基礎(chǔ)是不等式的性質(zhì)。
作差后,為判斷差的符號(hào),需要分解因式,以便使用實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則。
不等式的性質(zhì):
① 不等式的性質(zhì)可分為不等式基本性質(zhì)和不等式運(yùn)算性質(zhì)兩部分。
不等式基本性質(zhì)有:
(1) a>;bb
(2) a>;b, b>;ca>;c (傳遞性)
(3) a>;ba+c>;b+c (c∈R)
(4) c>;0時(shí),a>;bac>;bc
c<;0時(shí),a>;bac
運(yùn)算性質(zhì)有:
(1) a>;b, c>;da+c>;b+
(2) a>;b>;0, c>;d>;0ac>;
(3) a>;b>;0an>;bn (n∈N, n>;1)。
(4) a>;b>;0>;(n∈N, n>;1)。
應(yīng)注意,上述性質(zhì)中,條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系有兩種:“”和“”即推出關(guān)系和等價(jià)關(guān)系。一般地,證明不等式就是從條件出發(fā)施行一系列的推出變換。解不等式就是施行一系列的等價(jià)變換。因此,要正確理解和應(yīng)用不等式性質(zhì)。
② 關(guān)于不等式的性質(zhì)的考察,主要有以下三類問題:
(1)根據(jù)給定的不等式條件,利用不等式的性質(zhì),判斷不等式能否成立。
(2)利用不等式的性質(zhì)及實(shí)數(shù)的性質(zhì),函數(shù)性質(zhì),判斷實(shí)數(shù)值的大小。
(3)利用不等式的性質(zhì),判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充分或必要關(guān)系。
一元一次不等式組:幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成了一個(gè)一元一次不等式組。
幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立,我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。
一元一次不等式組的解法
(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集
(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集。
6、不等式與不等式組
不等式:
①用符號(hào)〉,=,〈號(hào)連接的式子叫不等式。
②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。
③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變。
④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向相反。
7、不等式的解集:
①能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
③求不等式解集的過程叫做解不等式。
定理與性質(zhì)
不等式的性質(zhì):
不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
4、說明:①在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號(hào)是不變的,是隨著加或乘的運(yùn)算改變。②如果不等式乘以0,那么不等號(hào)改為等號(hào)所以在題目中,要求出乘以的數(shù),那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式,如果出現(xiàn)了,那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立。
一元一次不等式組:幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成了一個(gè)一元一次不等式組。
幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立,我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。
一元一次不等式組的解法
(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集
(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集。
6、不等式與不等式組
不等式:
①用符號(hào)〉,=,〈號(hào)連接的式子叫不等式。
②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。
③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變。
④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向相反。
7、不等式的解集:
①能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
③求不等式解集的過程叫做解不等式。
定理與性質(zhì)
不等式的性質(zhì):
不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。
不等式的基本性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
4、說明:①在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號(hào)是不變的,是隨著加或乘的運(yùn)算改變。②如果不等式乘以0,那么不等號(hào)改為等號(hào)所以在題目中,要求出乘以的數(shù),那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式,如果出現(xiàn)了,那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立。
變化前的點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)
坐標(biāo)變化
變化后的點(diǎn)坐標(biāo)
圖形變化平移橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)加上(或減去)n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度
(x,y+n)或(x,y-n)
圖形向上(或向下)平移了n個(gè)單位長(zhǎng)度
縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)加上(或減去)n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度
(x+n,y)或(x-n,y)
圖形向右(或向左)平移了n個(gè)單位長(zhǎng)度伸長(zhǎng)橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大n(n>1)倍(x,ny)圖形被縱向拉長(zhǎng)為原來的n倍
縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)擴(kuò)大n(n>1)倍(nx,y)圖形被橫向拉長(zhǎng)為原來的n倍壓縮橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮小n(n>1)倍(x,)圖形被縱向縮短為原來的
縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小n(n>1)倍(,y)圖形被橫向縮短為原來的放大橫縱坐標(biāo)同時(shí)擴(kuò)大n(n>1)倍(nx,ny)圖形變?yōu)樵瓉淼膎2倍縮小橫縱坐標(biāo)同時(shí)縮小n(n>1)倍(,)圖形變?yōu)樵瓉淼?/p>
求與幾何圖形聯(lián)系的特殊點(diǎn)的坐標(biāo),往往是向x軸或y軸引垂線,轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng),再根據(jù)點(diǎn)所在的象限,醒上相應(yīng)的符號(hào)。求坐標(biāo)分兩種情況:(1)求交點(diǎn),如直線與直線的交點(diǎn);(2)求距離,再將距離換算成坐標(biāo),通常作x軸或y軸的垂線,再解直角三角形。
證明不等式的方法靈活多樣,但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法。要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系,選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法,要熟悉各種證法中的推理思維,并掌握相應(yīng)的步驟,技巧和語言特點(diǎn)。比較法的一般步驟是:作差(商)→變形→判斷符號(hào)(值)。
不等式相關(guān)公式
a>b,b>c=>a>c;
a>b=>a+c>b+c;
a>b,c>0=>ac>bc;
a>b,c<0=>ac
;a>b>0,c>d>0=>ac>bd;
a>b,ab>0=>1/a<1/b
;a>b>0=>a^n>b^n;
基本不等式:(根號(hào)ab)≤(a+b)/2
那麼可以變?yōu)閍^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
有兩條哦!
一個(gè)是
高中不等式知識(shí)點(diǎn)課件
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。下面是小編為大家整理的高中不等式知識(shí)點(diǎn)課件,歡迎閱讀。
一、目標(biāo)與要求
1.感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義,通過解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,使學(xué)生自發(fā)地尋找不等式的解,會(huì)把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上;
2.經(jīng)歷由具體實(shí)例建立不等模型的過程,經(jīng)歷探究不等式解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合思想;
3.通過對(duì)不等式、不等式解與解集的探究,引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識(shí);讓學(xué)生充分體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué),并能將它們應(yīng)用到生活的各個(gè)領(lǐng)域。
三、重點(diǎn)
1.理解并掌握不等式的性質(zhì);
2.正確運(yùn)用不等式的性質(zhì);
3.建立方程解決實(shí)際問題,會(huì)解ax+b=cx+d類型的一元一次方程;
4.尋找實(shí)際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型;
5.一元一次不等式組的解集和解法。
四、難點(diǎn)
1.一元一次不等式組解集的理解;
2.弄清列不等式解決實(shí)際問題的思想方法,用去括號(hào)法解一元一次不等式;
3.正確理解不等式、不等式解與解集的意義,把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上。
五、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)
1.不等式:用符號(hào),表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
2.不等式分類:不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。
一般地,用純粹的大于號(hào)、小于號(hào),連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式,用不小于號(hào)(大于或等于號(hào))、不大于號(hào)(小于或等于號(hào)),連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式,或稱廣義不等式。
3.不等式的解:使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
4.不等式的解集:一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
5.不等式解集的表示方法:
(1)用不等式表示:一般的,一個(gè)含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解,其解集是一個(gè)范圍,這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式表達(dá)出來,例如:x-12的解集是x3
(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來,形象地說明不等式有無限多個(gè)解,用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn):一是定邊界線;二是定方向。
6.解不等式可遵循的一些同解原理
(1)不等式F(x) G(x)與不等式 G(x)F(x)同解。
(2)如果不等式F(x) G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含,那么不等式 F(x) G(x)與不等式H(x)+F(x)
(3)如果不等式F(x) G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含,并且H(x)0,那么不等式F(x) G(x)與不等式H(x)F(x)0,那么不等式F(x) G(x)與不等式H(x)F(x)H(x)G(x)同解。
7.不等式的性質(zhì):
(1)如果xy,那么yy;(對(duì)稱性)
(2)如果xy,y那么x(傳遞性)
(3)如果xy,而z為任意實(shí)數(shù)或整式,那么x+z(加法則)
(4)如果xy,z0,那么xz如果xy,z0,那么xz
(5)如果xy,z0,那么xzy如果xy,z0,那么xz
(6)如果xy,mn,那么x+my+n(充分不必要條件)
(7)如果x0,m0,那么xmyn
(8)如果x0,那么x的n次冪y的n次冪(n為正數(shù))
8.一元一次不等式:不等式的左、右兩邊都是整式,只有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,像這樣的不等式,叫做一元一次不等式。
9.解一元一次不等式的一般順序:
(1)去分母 (運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)
(2)去括號(hào)
(3)移項(xiàng) (運(yùn)用不等式性質(zhì)1)
(4)合并同類項(xiàng)
(5)將未知數(shù)的系數(shù)化為1 (運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)
(6)有些時(shí)候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集
10. 一元一次不等式與一次函數(shù)的'綜合運(yùn)用:
一般先求出函數(shù)表達(dá)式,再化簡(jiǎn)不等式求解。
11.一元一次不等式組:一般地,關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一一起,就組成
了一個(gè)一元一次不等式組。
12.解一元一次不等式組的步驟:
(1) 求出每個(gè)不等式的解集;
(2) 求出每個(gè)不等式的解集的公共部分;(一般利用數(shù)軸)
(3) 用代數(shù)符號(hào)語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)
13.解不等式的訣竅
(1)大于大于取大的(大大大);
例如:X-1,X2 ,不等式組的解集是X2
(2)小于小于取小的(小小小);
例如:X-4,X-6,不等式組的解集是X-6
(3)大于小于交叉取中間;
(4)無公共部分分開無解了;
14.解不等式組的口訣
(1)同大取大
例如,x2,x3 ,不等式組的解集是X3
(2)同小取小
例如,x2,x3 ,不等式組的解集是X2
(3)大小小大中間找
例如,x2,x1,不等式組的解集是1
(4)大大小小不用找
例如,x2,x3,不等式組無解
15.應(yīng)用不等式組解決實(shí)際問題的步驟
(1)審清題意
(2)設(shè)未知數(shù),根據(jù)所設(shè)未知數(shù)列出不等式組
(3)解不等式組
(4)由不等式組的解確立實(shí)際問題的解
(5)作答
16.用不等式組解決實(shí)際問題:其公共解不一定就為實(shí)際問題的解,所以需結(jié)合生活實(shí)際具體分析,最后確定結(jié)果。
初中不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù),不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題,也可以表示一個(gè)問題。以下是小編收集的不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié),歡迎查看!
初中不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1
一、不等式的概念
1、不等式
用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集
對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式,任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值,都叫做這個(gè)不等式的解。
對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式, 它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合, 簡(jiǎn)稱這個(gè)不等式的解集。
求不等式的解集的過程,叫做解不等式。
二、不等式基本性質(zhì)
1、不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變。
2、不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。
3、不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地,不等式中只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是 1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
一般步驟:
(1)去分母;
(2)去括號(hào);
(3)移項(xiàng);
(4)合并同類項(xiàng);
(5)將 x 項(xiàng)的系數(shù)化為 1。
四、一元一次不等式組
1、一元一次不等式組的概念
幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成了一個(gè)一元一次不等式組。
幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
當(dāng)任何數(shù) x 都不能使不等式同時(shí)成立,我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集。
2、一元一次不等式組的解法
(1)分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集。
(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分,即這個(gè)不等式組的解集。
第九章 不等式與不等式組
一、目標(biāo)與要求
1.感受生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式和一元一次不等式的意義,通過解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題,使學(xué)生自發(fā)地尋找不等式的解,會(huì)把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上;
2.經(jīng)歷由具體實(shí)例建立不等模型的過程,經(jīng)歷探究不等式解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結(jié)合思想;
3.通過對(duì)不等式、不等式解與解集的探究,引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識(shí);讓學(xué)生充分體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué),并能將它們應(yīng)用到生活的各個(gè)領(lǐng)域。
二、知識(shí)框架
三、重點(diǎn)
理解并掌握不等式的性質(zhì);
正確運(yùn)用不等式的性質(zhì);
建立方程解決實(shí)際問題,會(huì)解"ax+b=cx+d"類型的一元一次方程;
尋找實(shí)際問題中的不等關(guān)系,建立數(shù)學(xué)模型;
一元一次不等式組的解集和解法。
四、難點(diǎn)
一元一次不等式組解集的理解;
弄清列不等式解決實(shí)際問題的思想方法,用去括號(hào)法解一元一次不等式;
正確理解不等式、不等式解與解集的意義,把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上。
五、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)
1.不等式:用符號(hào)"<",">","≤","≥"表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。
2.不等式分類:不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。
一般地,用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)">","<"連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式,用不小于號(hào)(大于或等于號(hào))、不大于號(hào)(小于或等于號(hào))"≥","≤"連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式,或稱廣義不等式。
3.不等式的解:使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
4.不等式的解集:一個(gè)含有未知數(shù)的'不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
5.不等式解集的表示方法:
(1)用不等式表示:一般的,一個(gè)含未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解,其解集是一個(gè)范圍,這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式表達(dá)出來,例如:x-1≤2的解集是x≤3
(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來,形象地說明不等式有無限多個(gè)解,用數(shù)軸表示不等式的解集要注意兩點(diǎn):一是定邊界線;二是定方向。
6.解不等式可遵循的一些同解原理
(1)不等式F(x)< G(x)與不等式 G(x)>F(x)同解。
(2)如果不等式F(x)< G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含,那么不等式 F(x)< G(x)與不等式H(x)+F(x)
(3)如果不等式F(x)< G(x)的定義域被解析式H(x)的定義域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)< G(x)與不等式H(x)F(x)0,那么不等式F(x)< G(x)與不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。
7.不等式的性質(zhì):
(1)如果x>y,那么yy;(對(duì)稱性)
(2)如果x>y,y>z;那么x>z;(傳遞性)
(3)如果x>y,而z為任意實(shí)數(shù)或整式,那么x+z>y+z;(加法則)
(4)如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz
(5)如果x>y,z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y,z<0,那么x÷z
(6)如果x>y,m>n,那么x+m>y+n(充分不必要條件)
(7)如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn
(8)如果x>y>0,那么x的n次冪>y的n次冪(n為正數(shù))
8.一元一次不等式:不等式的左、右兩邊都是整式,只有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,像這樣的不等式,叫做一元一次不等式。
9.解一元一次不等式的一般順序:
(1)去分母 (運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)
(2)去括號(hào)
(3)移項(xiàng) (運(yùn)用不等式性質(zhì)1)
(4)合并同類項(xiàng)
(5)將未知數(shù)的系數(shù)化為1 (運(yùn)用不等式性質(zhì)2、3)
(6)有些時(shí)候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集
10. 一元一次不等式與一次函數(shù)的綜合運(yùn)用:
一般先求出函數(shù)表達(dá)式,再化簡(jiǎn)不等式求解。
11.一元一次不等式組:一般地,關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成
了一個(gè)一元一次不等式組。
12.解一元一次不等式組的步驟:
(1) 求出每個(gè)不等式的解集;
(2) 求出每個(gè)不等式的解集的公共部分;(一般利用數(shù)軸)
(3) 用代數(shù)符號(hào)語言來表示公共部分。(也可以說成是下結(jié)論)
初中不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2
一、一元一次不等式的解法:
一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似,其步驟為:
1、去分母;
2、去括號(hào);
3、移項(xiàng);
4、合并同類項(xiàng);
5、系數(shù)化為1
二、不等式的基本性質(zhì):
1、不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變;
2、不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;
3、不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
三、不等式的解:
能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
四、不等式的解集:
一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
五、解不等式的依據(jù)不等式的基本性質(zhì):
性質(zhì)1:不等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變。
性質(zhì)2:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。
性質(zhì)3:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
常見考法
(1)考查一元一次不等式的解法;
(2)考查不等式的性質(zhì)。
誤區(qū)提醒
忽略不等號(hào)變向問題。
初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納
有理數(shù)乘法的運(yùn)算律
1、乘法的交換律:ab=ba;
2、乘法的結(jié)合律:(ab)c=a(bc);
3、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac
單項(xiàng)式
只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。
注意:?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的。
多項(xiàng)式
1、幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
2、同類項(xiàng)所有字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
提高數(shù)學(xué)思維的方法
轉(zhuǎn)化思維
轉(zhuǎn)化思維,既是一種方法,也是一種思維。轉(zhuǎn)化思維,是指在解決問題的過程中遇到障礙時(shí),通過改變問題的方向,從不同的角度,把問題由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式,尋求最佳方法,使問題變得更簡(jiǎn)單、清晰。
創(chuàng)新思維
創(chuàng)新思維是指以新穎獨(dú)創(chuàng)的方法解決問題的思維過程,通過這種思維能突破常規(guī)思維的界限,以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法、視角去思考問題,得出與眾不同的解
要培養(yǎng)質(zhì)疑的習(xí)慣
在家庭教育中,家長(zhǎng)要經(jīng)常引導(dǎo)孩子主動(dòng)提問,學(xué)會(huì)質(zhì)疑、反省,并逐步養(yǎng)成習(xí)慣。
在孩子放學(xué)回家后,讓孩子回顧當(dāng)天所學(xué)的知識(shí):老師如何講解的,同學(xué)是如何回答的?當(dāng)孩子回答出來之后,接著追問:“為什么?”“你是怎樣想的?”啟發(fā)孩子講出思維的過程并盡量讓他自己作出評(píng)價(jià)。
有時(shí),可以故意制造一些錯(cuò)誤讓孩子去發(fā)現(xiàn)、評(píng)價(jià)、思考。通過這樣的訓(xùn)練,孩子會(huì)在思維上逐步形成獨(dú)立見解,養(yǎng)成一種質(zhì)疑的習(xí)慣。
不等式的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
用不等號(hào)(<,>,≥,≤,≠)連接的式子叫做不等式。下面,小編為大家分享不等式的知識(shí)點(diǎn)總結(jié),希望對(duì)大家有所幫助!
1.用符號(hào)
〉,=,〈號(hào)連接的式子叫不等式。
2.性質(zhì)
①如果x>y,那么yy;(對(duì)稱性)
②如果x>y,y>z;那么x>z;(傳遞性)
③如果x>y,而z為任意實(shí)數(shù)或整式,那么x+z>y+z;(加法原則,或叫同向不等式可加性)
④ 如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz
⑤如果x>y,m>n,那么x+m>y+n;(充分不必要條件)
⑥如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn;
⑦如果x>y>0,那么x的n次冪>y的'n次冪(n為正數(shù)),x的n次冪?;蛘哒f,不等式的基本性質(zhì)有:
①對(duì)稱性;
②傳遞性;
③加法單調(diào)性,即同向不等式可加性;
④乘法單調(diào)性;
⑤同向正值不等式可乘性;
⑥正值不等式可乘方;
⑦正值不等式可開方;
⑧倒數(shù)法則。
3.分類
①一元一次不等式:左右兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式組:
a.關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,就組成了一元一次不等式組。
b.一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分,叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集。
4.不等式考點(diǎn)
①解一元一次不等式(組)
②根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列不等式(組)并解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題
③用數(shù)軸表示一元一次不等式(組)的解集
注:不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子,不等號(hào)的方向不變。(移項(xiàng)要變號(hào))
不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。(相當(dāng)系數(shù)化1,這是得正數(shù)才能使用)
不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。(÷或×1個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào))
初一數(shù)學(xué)一元一次不等式知識(shí)點(diǎn)
在我們平凡的學(xué)生生涯里,大家最熟悉的就是知識(shí)點(diǎn)吧?知識(shí)點(diǎn)就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。還在苦惱沒有知識(shí)點(diǎn)總結(jié)嗎?下面是小編整理的初一數(shù)學(xué)一元一次不等式知識(shí)點(diǎn),僅供參考,歡迎大家閱讀。
一、一元一次不等式的解法:
一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似,其步驟為:
1、去分母;
2、去括號(hào);
3、移項(xiàng);
4、合并同類項(xiàng);
5、系數(shù)化為1
二、不等式的基本性質(zhì):
1、不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變;
2、不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;
3、不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
三、不等式的解:
能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解。
四、不等式的解集:
一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個(gè)不等式的解集。
五、解不等式的`依據(jù)不等式的基本性質(zhì):
性質(zhì)1:不等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變。
性質(zhì)2:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變。
性質(zhì)3:不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變。
常見考法
(1)考查一元一次不等式的解法;
(2)考查不等式的性質(zhì)。
誤區(qū)提醒
忽略不等號(hào)變向問題。
初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納
有理數(shù)乘法的運(yùn)算律
1、乘法的交換律:ab=ba;
2、乘法的結(jié)合律:(ab)c=a(bc);
3、乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac
單項(xiàng)式
只含有數(shù)字與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。
注意:?jiǎn)雾?xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的。
多項(xiàng)式
1、幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。
2、同類項(xiàng)所有字母相同,并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。
提高數(shù)學(xué)思維的方法
轉(zhuǎn)化思維
轉(zhuǎn)化思維,既是一種方法,也是一種思維。轉(zhuǎn)化思維,是指在解決問題的過程中遇到障礙時(shí),通過改變問題的方向,從不同的角度,把問題由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式,尋求最佳方法,使問題變得更簡(jiǎn)單、清晰。
創(chuàng)新思維
創(chuàng)新思維是指以新穎獨(dú)創(chuàng)的方法解決問題的思維過程,通過這種思維能突破常規(guī)思維的界限,以超常規(guī)甚至反常規(guī)的方法、視角去思考問題,得出與眾不同的解
要培養(yǎng)質(zhì)疑的習(xí)慣
在家庭教育中,家長(zhǎng)要經(jīng)常引導(dǎo)孩子主動(dòng)提問,學(xué)會(huì)質(zhì)疑、反省,并逐步養(yǎng)成習(xí)慣。
在孩子放學(xué)回家后,讓孩子回顧當(dāng)天所學(xué)的知識(shí):老師如何講解的,同學(xué)是如何回答的?當(dāng)孩子回答出來之后,接著追問:“為什么?”“你是怎樣想的?”啟發(fā)孩子講出思維的過程并盡量讓他自己作出評(píng)價(jià)。
有時(shí),可以故意制造一些錯(cuò)誤讓孩子去發(fā)現(xiàn)、評(píng)價(jià)、思考。通過這樣的訓(xùn)練,孩子會(huì)在思維上逐步形成獨(dú)立見解,養(yǎng)成一種質(zhì)疑的習(xí)慣。
【微語】每一次跌倒都是一次學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì),讓失敗成為成功的基石。
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