已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿(mǎn)足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．(1)求

題目?jī)?nèi)容：

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿(mǎn)足a₁＝2，na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)令T_n＝S_n，是否存在正整數(shù)m，對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

最佳答案：

（1）a_n＝2n.（2）m＝8或m＝9

答案解析：

(1)令n＝1，由a₁＝2及na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，①得a₂＝4，故a₂－a₁＝2，

當(dāng)n≥2時(shí)，有(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，②

①－②，得na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n.整理得a_n＋1－a_n＝2(n≥2)．

當(dāng)n＝1時(shí)，a₂－a₁＝2，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

故a_n＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)由(1)得S_n＝n(n＋1)，所以T_n＝(n²＋n)．

故T_n＋1＝[(n＋1)²＋(n＋1)]，令

即即

解得8≤n≤9.故T₁<T₂<…<T₈＝T₉>T₁₀>T₁₁>…

故存在正整數(shù)m對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤T_m，

此時(shí)m＝8或m＝9

考點(diǎn)核心：

等差數(shù)列的定義：

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，用符號(hào)語(yǔ)言表示為a_n+1-a_n=d。

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