題9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），取一點(diǎn)B（b，0），連接AB，做線段AB的垂直平分線l1，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點(diǎn)為P．（1）當(dāng)b=3時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖

分析 （1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線，過(guò)點(diǎn)B作出x軸的垂線即可．
（2）①分x＞O或x＜0兩種情形利用勾股定理求出x與y的關(guān)系即可解決問(wèn)題．
②由題意得d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，列出方程即可解決問(wèn)題．
③求出直線y=2與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的兩個(gè)交點(diǎn)為（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2），利用這兩個(gè)特殊點(diǎn)，求出k的值即可解決問(wèn)題．

解答 解；（1）線段AB的垂直平分線l₁，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線l₂，直線l_1與l₂的交點(diǎn)為P，如圖所示，

（2）①當(dāng)x＞0時(shí)，如圖2中，連接AP，作PE⊥y軸于E，

∵l₁垂直平分AB，
∴PA=PB=y，
在RT△APE中，∵EP=BO=x，AE=OE-OA=y-1，PA=y，
∴y²=x²+（y-1）²，
∴y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)P（x，y）同樣滿足y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，
∴曲線l就是二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$即曲線l是拋物線．
②∵d₁=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，d₂=|x|，
∴d₁+d₂=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|，
當(dāng)x=0時(shí)，d₁+d₂有最小值$\frac{1}{2}$，
∴d₁+d₂≥$\frac{1}{2}$，
∵d₁+d₂=8，則$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+|x|=8，
當(dāng)x≥0時(shí)，原方程化為$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$+x-8=0，解得x=3或（-5舍棄），
當(dāng)x＜0時(shí)，原方程化為$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$-x-8=0，解得x=-3或（5舍棄），
∵x=±3時(shí)，y=5，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（3，5）或（-3，5）．
③如圖3中，

把y=2代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，解得x=$±\sqrt{3}$，
∴直線y=2與拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$的兩個(gè)交點(diǎn)為（-$\sqrt{3}$，2）和（$\sqrt{3}$，2）．
當(dāng)直線y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，2）時(shí)，2=-$\sqrt{3}$k+3
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)直線y=kx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{3}$，2）時(shí)，2=$\sqrt{3}$k+3，
∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線y=kx+3與這條“W”形狀的曲線有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形，利用勾股定理構(gòu)建方程，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是取特殊點(diǎn)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．