分析 (1)通過解方程ax2-11ax+24a=0可得到B點和C點坐標;
(2)①作AD⊥BC于D,如圖1,先利用等腰三角形的性質(zhì)OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4,則BD=1,再證明Rt△ABD∽Rt△CAD,利用相似比計算出AD,從而得到A(4,2),然后把A坐標代入y=ax2-11ax+24a中求出a的值,則可得到得拋物線解析式;
②作AD⊥BC于D,如圖2,設M(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12),利用折疊的性質(zhì)可判斷M點和M′關(guān)于x軸對稱,設MM′交x軸于點E,則MM′=2ME=-m2+11m-24,根據(jù)三角形面積公式,利用S=S△AMM′+S△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′得到S=-2m2+22m-48,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.
解答 解:(1)當y=0時,ax2-11ax+24a=0,解得x1=3,x3=8,
而點B在點C的左側(cè),
所以B(3,0),C(8,0);
(2)①作AD⊥BC于D,如圖1,
∵AO=AC,
∴OD=CD=$\frac{1}{2}$OC=4,
∴BD=OD-OB=4-3=1,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠ACB=90°,
而∠ABD+∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∴Rt△ABD∽Rt△CAD,
∴BD:AD=AD:CD,即1:AD=AD:4,解得AD=2,
∴A(4,2),
把A(4,2)代入y=ax2-11ax+24a得16a-44a+24a=2,解得a=-$\frac{1}{2}$,
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{11}{2}$x-12;
②作AD⊥BC于D,如圖2,設M(m,-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{11}{2}$m-12),
∵拋物線L沿x軸翻折后得拋物線L′,且過點M作x軸的垂線h與拋物線L′交于點M′,
∴M點和M′關(guān)于x軸對稱,
MM′交x軸于點E,
∴MM′=2ME=-m2+11m-24,
∴S=S△AMM′+S△CMM′=$\frac{1}{2}$CD•MM′=$\frac{1}{2}$•4•(-m2+11m-24)=-2m2+22m-48=-2(m-$\frac{11}{2}$)2+$\frac{25}{2}$,
當x=$\frac{11}{2}$時,S有最大值,最大值為$\frac{25}{2}$.
點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題:熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和折疊的性質(zhì);理解坐標與圖形的性質(zhì);會利用相似三角形的知識求線段的長.