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15.如圖,AC是矩形ABCD的對角線,過AC的中點O作EF⊥AC,交BC于點E,交AD于點F,連接AE,CF.(1)求證:四邊形AECF是菱形;(2)若AB=$\sqrt{3}$,∠DCF=30°,

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題目詳情:

15.如圖,AC是矩形ABCD的對角線,過AC的中點O作EF⊥AC,交BC于點E,交AD于點F,連接AE,CF.
(1)求證:四邊形AECF是菱形;
(2)若AB=$\sqrt{3}$,∠DCF=30°,求四邊形AECF的面積.(結果保留根號)

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2024-10-24 04:46:15

分析 (1)由過AC的中點O作EF⊥AC,根據線段垂直平分線的性質,可得AF=CF,AE=CE,OA=OC,然后由四邊形ABCD是矩形,易證得△AOF≌△COE,則可得AF=CE,繼而證得結論;
(2)由四邊形ABCD是矩形,易求得CD的長,然后利用三角函數求得CF的長,繼而求得答案.

解答 (1)證明:∵O是AC的中點,且EF⊥AC,
∴AF=CF,AE=CE,OA=OC,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠AFO=∠CEO,
在△AOF和△COE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠AOF=∠COE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$,
∴△AOF≌△COE(AAS),
∴AF=CE,
∴AF=CF=CE=AE,
∴四邊形AECF是菱形;

(2)解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴CD=AB=$\sqrt{3}$,
在Rt△CDF中,cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}$,∠DCF=30°,
∴CF=$\frac{CD}{cos30°}$=2,
∵四邊形AECF是菱形,
∴CE=CF=2,
∴四邊形AECF是的面積為:EC•AB=2$\sqrt{3}$.

點評 此題考查了矩形的性質、菱形的判定與性質以及三角函數等知識.注意證得△AOF≌△COE是關鍵.

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