題5．綜合與探究：如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c經過點A（-1，0），B（4，0），與直線AC相交于點C（2，a），直線AC與y軸相交于點D，連接BD，BC．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷△C

分析 （1）利用交點式寫出拋物線解析式；
（2）先利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出C（2，6），再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=2x+2，則D（0，2），接著利用兩點間的距離公式計算出BD²=20，CD²=20，BC²=40，然后利用勾股定理的逆定理判斷△CDB的形狀；
（3）作EH∥y軸交AC于H，如圖2，設E（m，-m²+3m+4）（-1＜m＜2），則H（m，2m+2），則EH=-m²+m+2，利用三角形面積公式和S_△ACE=S_△AEH+S_△CEH得到-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，解得m₁=m₂=$\frac{1}{2}$，則得到E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），再利用而此函數(shù)的性質得∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，頂點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），于是得到點E關于直線x=$\frac{3}{2}$的對稱點F的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），然后分類討論：當以EF為對角線時，易得點P在頂點，坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），當以EF為邊時，如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質得EF∥PQ，EF=PQ=2，于是確定P點的橫坐標為-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，然后計算出對應的函數(shù)值即可得到P點坐標．

解答 解：（1）拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-4），即y=-x²+3x+4；
（2）△CDB是等腰直角三角形．理由如下：如圖1，
∵C（2，a）在拋物線上，
∴a=-4+6+4=6，
∴C（2，6），
設直線AC的解析式為y=kx+p，
把A（-1，0），C（2，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+p=0}\\{2k+p=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=2x+2，
當x=0時，y=2x+2=2，則D（0，2），
∵BD²=2²+4²=20，CD²=2²+（6-2）²=20，BC²=2²+6²=40，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BCD為直角三角形，∠BDC=90°，
而BD=CD=2$\sqrt{5}$，
∴△CDB是等腰直角三角形；
（3）能．
作EH∥y軸交AC于H，如圖2，
設E（m，-m²+3m+4）（-1＜m＜2），則H（m，2m+2），
∴EH=-m²+3m+4-（2m+2）=-m²+m+2，
∵S_△ACE=S_△AEH+S_△CEH=$\frac{1}{2}$•3•EH=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3，
∴-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，
整理得4m²-4m+1=0，解得m₁=m₂=$\frac{1}{2}$，
∴E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{3}{2}$，頂點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴點E關于直線x=$\frac{3}{2}$的對稱點F的坐標為（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），
以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，有2種可能：
當以EF為對角線時，因為PQ與EF互相平分，則點P在頂點，此時P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
當以EF為邊時，如圖2，則EF∥PQ，EF=PQ=2，
∴P點的橫坐標為-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，
而x=-$\frac{1}{2}$時，y=-x²+3x+4=$\frac{9}{4}$；當x=$\frac{7}{2}$時，y=-x²+3x+4=$\frac{9}{4}$，
此時P點坐標為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、等腰直角三角形的判定和平行四邊形的性質；理解坐標與圖形的性質，記住兩點間的距離公式，能運用勾股定理的逆定理證明直角三角形；會利用相似三角形的知識求線段的長；能運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．