發(fā)布時間: 2025年01月04日 11:36
世界上偉大的幾何學大師----非歐幾何創(chuàng)始人羅巴切夫斯基
羅巴切夫斯基(Lobachevsky,Nikolay Ivaovich 1792.12.1-1856.2.24)俄國數(shù)學家,非歐幾何的創(chuàng)始人之一。他生于俄羅斯下諾夫戈羅德,是波蘭血統(tǒng)的農民家庭的兒子。1807年進入喀山大學,并逐步顯示出數(shù)學方面的才能。他21歲時已在大學里執(zhí)教,并很快提升到教授職位,1827年擔任大學校長。他寫過許多數(shù)學論文,但是他的主要名聲是作為數(shù)學的“異端”,而且是極其成功的異端而確立的。2000年來歐幾里得及其幾何體系一直享有至高無上的地位。學者們普遍認為：數(shù)學(特別像幾何)包含著基本的真理,這些真理不依賴人的認識而存在,就如同2加2必定等于4以及三角形的三個角之和必定等于180度。但在歐幾里得幾何中,有一個令人惱火的困惑不解之處,即他的第5公理。這一公理可以用許多方式表述,其中最簡單的是：“通過已知直線外一已知點,可以畫出且僅能畫一條直線與此已知直線平行?！边@條公理不同于歐幾里得的其他公理,它完全不是自明的。它包含著平行性的概念,而且又蘊含著無窮長的直線。在哲學上是一個令人頭痛的問題,有能用其他的簡單的公理來證明。也正因為如此,歐幾里得在眾多的數(shù)學家心目中得到崇拜。
羅巴切夫斯基擯棄了這種傳統(tǒng)思想的束縛,大膽的設想：不管第5公理是否能被證明,他只考慮第5公理是否真有必要,以及舍棄它能否建立另一種幾何。這個思想火花誕生在1826年。那時他已在他講課時提到：假如人這樣的公理出發(fā),即通過一已知直線外一已知點,至少可以畫出兩條直線平行于該直線,那么這個公理加上歐幾里得其余的公理就可以用來得到一種新的非歐幾何。
在羅巴切夫斯基幾何中,三角形的3個角的和必定小于180度。這是一種奇怪的幾何,但它并不自相矛盾。1826年他首先宣讀了關于平行線問題的報告,1829年寫成文章發(fā)表(在此領域他是第一個公開發(fā)表的人,鮑耶雖然產生設想的時間比其早4年,但公開發(fā)表時卻晚了3年；而另一痊偉大的數(shù)學家高斯拗于不便同“圣”歐幾里得抗衡而始終未鼓足勇氣發(fā)表自己的發(fā)現(xiàn),這樣從科學上羅巴切夫斯基就當然成為創(chuàng)立非歐幾何的第一人)。
羅巴切夫斯基的思想扎根于他的反對康德的先驗的叭心主義。除了幾何外,他還在無窮級數(shù)理論,特別是三角級數(shù)以及積分學和概率等方面也作出了杰出的工作；在代數(shù)方面,1834年他發(fā)表了代數(shù)方程求根的一個近似方法。他同鮑耶一樣,是死后才成名的。這是由于兩個原因,其一是由于當時俄國的主要數(shù)學權威V·M·奧斯特羅格拉茨基對他產不賞識；其二是,他的文章是用俄文發(fā)表在地區(qū)性刊物上,未得到廣泛的注意。但他并未因此而沮喪,而是不屈不撓用法文和德文繼續(xù)發(fā)表他的研究成果。1837年他用德文發(fā)表“虛幾何”一文,1840年出版《平行理論的幾何研究》一書,而且于1855年在雙目幾乎失明的情況下,通過口授用法文出版了《泛幾何學》一書,繼續(xù)闡述他的理論。
然而非歐幾何獲得普遍接受是在德國數(shù)學家黎曼于1868年發(fā)表關于構成幾何基礎的原則的思想以及意大利數(shù)學家貝爾特拉米在1868年證明非歐向何的相容性和普遍適用性后才實現(xiàn)。在哲學上,非歐幾何的出現(xiàn)動搖了數(shù)學中自明的真理概念。人們清楚地認識到,存在一系列真理,依賴于人們對于公理如何選擇和如何安排。在特殊情況下,一種特殊的真理,可以比別的真理更加有用,但它并不更“真”。在一般人的心目中(特別是數(shù)學家),歐幾里得幾何學是無比神圣的,以致羅巴切夫斯基和其他生些非歐幾何學家受到許多貶低和責難(對羅巴切夫斯基所作出貢獻的回報就是1846年被解職)。直至他死后半個多世紀,愛因斯坦證明了宇宙在結構上是非歐的,并且非歐的理論和概念有著非常實際的價值之后,情況才發(fā)生了根本的變化。
1893年，在喀山大學樹立起世界上第一個數(shù)學家的塑像。這位數(shù)學家就是俄國的偉大學者、非歐幾何的創(chuàng)始人之一羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）。非歐幾何是人類認識史上一個富有創(chuàng)造性的偉大成果，它的創(chuàng)立，不僅帶來了近百年來數(shù)學的巨大進步，而且對現(xiàn)代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。可是，這一重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)在羅巴切夫斯基提出后相當長的段時間內，不但沒能贏得社會的承認和贊美，反而遭到種種歪曲、非難和攻擊，使非歐幾何這一新理論遲遲得不到學術界的公認。
失敗的啟迪
羅巴切夫斯基是在嘗試解決歐氏第五公設問題的過程中，從失敗走上他的發(fā)現(xiàn)之路的。歐氏第五公設問題是數(shù)學史上最古老的著名難題之一。它是由古希臘學者最先提出來的。公元前3世紀，希臘亞歷山大里亞學派的創(chuàng)始者歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）集前人幾何研究之大成，編寫了數(shù)學發(fā)展史上具有極其深遠影響的數(shù)學巨著《幾何原本》。這部著作的重要意義在于，它是用公理法建立科學理論體系的最早典范。在這部著作中，歐幾里得為推演出幾何學的所有命題，一開頭就給出了五個公理（適用于所有科學）和五個公設（只應用于幾何學），作為邏輯推演的前提?！稁缀卧尽返淖⑨屨吆驮u述者們對五個公理和前四個公設都是很滿意，唯獨對第五個公設（即平行公理）提出了質疑。
第五公設是論及平行線的，它說的是：如果一直線和兩直線相交，所構成的兩個同側內角之和小于兩直角，那么，把這兩直線延長，它們一定在那兩內角的側相交。數(shù)學家們并不懷疑這個命題的真實性，而是認為它無論在語句還是在內容上都不大像是個公設，而倒像是個可證的定理，只是由于歐幾里得沒能找到它的證明，才不得不把它放在公設之列。
為給出第五公設的證明，完成歐幾里得沒能完成的工作，自公元前3世紀起到19世紀初，數(shù)學家們投入了無窮無盡的精力，他們幾乎嘗試了各種可能的方法，但都遭到了失敗。羅巴切夫斯基是從1815年著手研究平行線理論的。開始，他也是循著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。在保存下來的他的學生聽課筆記中，就記有他在1816--1817學年度向何教學中給出的幾個證明?？墒?，很快他便意識到自己的證明是錯誤的。前人和自己的失敗從反面啟迪了他，使他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。于是，他便調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答，這是一個全新的，也是與傳統(tǒng)思路完全相反的探索途徑。羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程上發(fā)現(xiàn)一個新的幾何世界的。
那么，羅巴切夫斯基是怎樣證得第五公設不可證的呢？又是怎樣從中發(fā)現(xiàn)新幾何世界的呢？原來他創(chuàng)造性地運用了處理復雜數(shù)學問題常用的一種邏輯方法--反證法。
這種反證法的基本思想是，為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否定，然后用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統(tǒng)，并由此展開邏輯推演。假設第五公設是可證的，即第五公設可由其它公理公設推演出來，那么，在新公理系統(tǒng)的推演過程中一定能出現(xiàn)邏輯矛盾，至少第五公設和它的否定命題就是一對邏輯矛盾；反之，如果推演不出矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證得“第五公設不可證”。
依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設的等價命題普列菲爾公理“過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交”作以否定，得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，并用這個否定命題和其它公理公設組成新的公理系統(tǒng)展開邏輯推演。在推演過程中，他得到一連串古怪的命題，但是，經過仔細審查，卻沒有發(fā)現(xiàn)它們之
間含有任何羅輯矛盾。于是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中并不存在任何矛盾”的新公理系統(tǒng)可構成一種新的幾何，它的羅輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由于尚未找到新幾何在現(xiàn)實界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。
在冷漠中宣告新幾何誕生
1826年2月23日，羅巴切夫斯基于喀山大學物理數(shù)學系學術會議上宣讀了他的第一篇關于非歐幾何的論文《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創(chuàng)性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸于世，就遭到正統(tǒng)數(shù)學家的冷漠和反對。
參加2月23日學術公議的全是數(shù)學造詣較深的專家，其中著名的數(shù)學家、天文學家西蒙諾夫（A.M.CИMOHOB），有后來成為科學院院士的古普費爾（A.R.KYI-Iφep）以及后來在數(shù)學界頗有聲望的博拉斯曼（H.Д.Бp-aшMah）。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數(shù)學家?？墒牵龊跛麄兊囊饬?，這位年輕的教授在簡短的開場白之后，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內角和小于兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨于零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突，而且還與人們的日常經驗相背離。然而，報告者卻認真地、充滿信心地指出，它們屬于一種邏輯嚴謹?shù)男聨缀危蜌W幾里得向何有著同等的存在權利。這些古怪的語言，竟然出自一個頭腦清楚、治學嚴謹?shù)臄?shù)家教授之口，不能不使與會者們感到意外。他們先是表現(xiàn)現(xiàn)一種疑惑和驚呆，不多一會兒，便流露出各種否定的表情。
宣講論文后，羅巴切夫斯基誠懇地請與會者討論，提出修改意見。可是，誰也不肯作任何公開評論，會場上一片冷漠。一個具有獨創(chuàng)性的重大發(fā)現(xiàn)作出了，那些最先聆聽到發(fā)現(xiàn)者本人講述發(fā)現(xiàn)內容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發(fā)現(xiàn)的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態(tài)度，這實在是一件令人遺憾的事情。
會后，系學術委員會委托西蒙諾夫、古普費爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書面鑒定。他們的態(tài)度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書面意見，以致最后連文稿也給弄丟了。
權威的譏諷與匿名者的攻擊
羅巴切夫斯基的首創(chuàng)性論文沒能引起學術界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他并沒有因此灰心喪氣，而是頑強地繼續(xù)獨自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重現(xiàn)了第一篇論文的基本思想，并且有所補充和發(fā)展。此時，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學校長，可能出自對校長的“尊敬”，《喀山大學通報》全文發(fā)表了這篇論文。
1832年，根據羅巴切夫斯基的請求，喀山大學學術委員會把這篇論文呈送彼得堡科學院審評?？茖W院委托著名數(shù)學家奧斯特羅格拉茨基（M.B.OCTPOГPAДCK ИЙ，1801-1862）院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數(shù)學物理、 數(shù)學分析、力學和天體力學等方面有過卓越的成就，在當時學術界有很高的聲望?？上У氖?，就是這樣一位杰出的數(shù)學家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學的教授們更加保守。如果說喀山大學的教授們對羅巴切夫斯基本人還是很“寬容”的話，那么，奧斯特羅格拉茨基則使用極其挖苦的語言，對羅巴切夫斯基作了公開的指責和攻擊。同年11月7日，他在給科學院的鑒定書中一開頭就以嘲弄的口吻寫道：“看
來，作者旨在寫出一部使人不能理解的著作。他達到自己的目的?！苯又瑢α_巴切夫斯基的新幾何思想進行了歪曲和貶低。最后粗暴地斷言：“由此我得出結論，羅馬切夫斯基校長的這部著作謬誤連篇，因而不值得科學院的注意?！?/p>
這篇論文不僅引起了學術界權威的惱怒，而且還激起了社會上反動勢力的敵對叫囂。名叫布拉切克（C.A.БypaЧek）和捷列內（C.И.ЗeЛeHbi Й）的兩個人，以匿名C．C在《祖國之子》雜志上撰文，公開指名對羅巴切夫斯基進行人身攻擊。匿名者在題為《評羅巴切夫斯基的著作《幾何學原理》一文中，開始就不懷好意地寫道：“甚至難以理解，羅巴切夫斯基先生是如何用數(shù)學中最簡明的幾何學，建立起晦澀的、不可思議和神秘莫測的學說的?！蔽闹谐芭溃骸盀槭裁床荒馨押诘南胂蟪砂椎?，把圓的想象成方的，把三角形內角和想象成小于兩直角，把同一個定積分值想象成既等于π/4，又等于∞？非常、非?？赡?，盡管理智是不能理解這些的?！痹谖恼碌慕Y尾處，作者更加放肆地譏諷道：“為什么不寫成，例如對幾何學的諷刺，幾何學漫畫等什么的，來代替標題《幾何學原理》？”
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